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长方形与平行四边形(2/2)

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积分成四等份。

(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。

辅助线

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。

例题详解

例1

已知,在四边形abcd中,∠a=∠c,ab∥cd。求证:四边形abcd是平行四边形。

证明:∵∠a=∠c,ab∥cd

∴∠b=∠d(等角的补角相等)

∵∠a=∠c且∠b=∠d

∴四边形abcd是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

例2

已知平行四边形abcd中,对角线ac和bd相交于点o,ac=10,bd=8.

(1)若ao⊥bd,试求四边形abcd的面积;

(2)若ac与bd的夹角∠aod=,求四边形abcd的面积;

(3)试讨论:若把题目中“平行四边形abcd”改为“四边形abcd”,且∠aod=

ac=,bd=,试求四边形abcd的面积(用含

,a,b的代数式表示).

解:(1)∵ac⊥bd

∴四边形abcd的面积

=1/2x10x8

=40………………………………………2分

(2)过点a分别作ae⊥bd,垂足为e…………………………………3分

∵四边形abcd为平行四边形ao=co=1/2ac=5,

bo=do=1/2bd=4

在rt⊿aoe中,sin∠aoe=ab/ao

∴ae=aoxsin∠aoe=aoxsin60°=5x√3/2=5√3/2…………4分

∴s△aod=1/2odxae=1/2x4x√3/2x5=5√3………………………………5分

∴四边形abcd的面积s=4s△aod=20√3……………………………………6分

(3)如图所示过点a,c分别作ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分别为e,f…………7分在rt⊿aoe中,sin∠aoe=ae/ao

∴ae=aoxsin∠aoe=aoxsin

同理可得cf=coxoxsin………………………………8分

∴四边形abcd的面积bd=1/2bdxae+1/2bdxcf

=1/2bdxo)

=1/2bdxacsin

=1/2absin

〔3〕如图所示,在平行四边形abcd中,ae、cf分别是∠dab、∠bcd的平分线,求证:四边形afce是平行四

边形.

分析:由四边形abcd是平行四边形,可得,ce∥af,∠dab=∠dcb,又ae、cf分别平分∠dab、∠bcd,所以∠2=∠3,可证四边形afce是平行四边形.

解答:

证明:∵四边形abcd是平行四边形,

∴ce∥af,∠dab=∠dcb,

∵ae、cf分别平分∠dab、∠bcd,∴∠2=∠3,

又∠3=∠cfb,

∴∠2=∠cfb,

∴ae∥cf,

又ce∥af,

∴四边形afce是平行四边形.

例3

在四边形abcd中,已知∠a=∠c,∠b=∠d,求证四边形abcd为平行四边形。

证明:∵∠a=∠c,∠b=∠d,∠a+∠c+∠b+∠d=360°

∴2(∠a+∠b)=360°

∴∠a+∠b=180°

即ad∥bc

同理,可得ab∥cd

∴四边形abcd为平行四边形

过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。

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